Question

【题目】已知函数，直线l：．

求的单调增区间；

求证：对于任意，直线l都不是线的切线；

试确定曲线与直线l的交点个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为，；（2）见证明；（3）见解析

【解析】

求出函数定义域，求导，令，即可求得函数的单调增区间；

假设存在某个，使得直线l与曲线相切，设切点为，求出切线满足斜率，推出，此方程显然无解，假设不成立推出直线l都不是曲线的切线；

“曲线与直线l的交点个数”等价于“方程的根的个数”，令，则，其中，且函数，其中，求出导数，判断函数的单调性，然后推出曲线与直线l交点个数．

，解：函数定义域为，

，

由，解得或．

函数的单调增区间为，；

证明：假设存在某个，使得直线l与曲线相切，

设切点为，

又，

切线满足斜率，且过点A，

，

即，此方程显然无解，

假设不成立．

故对于任意，直线l都不是曲线的切线；

解：“曲线与直线l的交点个数”等价于“方程的根的个数”．

由方程，得．

令，则，其中，且．

考察函数，其中，

，

函数在R单调递增，且．

而方程中，，且．

当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，

故当时，曲线与直线l没有交点，

而当时，曲线与直线l有且仅有一个交点．