Question

【题目】已知集合是集合 的一个含有个元素的子集.

（Ⅰ）当时,

设

（i）写出方程的解；

（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.

（Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程 至少有三组不同的解.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）（）利用列举法可得方程的解有: ；（）列出集合的从小到大个数中相邻两数的差，中间隔一数的两数差，中间相隔二数的两数差，…中间隔一数的两数差,可发现只有出现次, 出现次,其余都不超过次,从而可得结果；（Ⅱ）不妨设记, ,共个差数，假设不存在满足条件的，根据的取值范围可推出矛盾，假设不成立，从而可得结论.

假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,.

试题解析：（Ⅰ）（）方程的解有:

（）以下规定两数的差均为正,则:

列出集合的从小到大个数中相邻两数的差: ;

中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4;

中间相隔二数的两数差: ;

中间相隔三数的两数差: ;

中间相隔四数的两数差: ;

中间相隔五数的两数差: ;

中间隔一数的两数差: .

这个差数中,只有出现次, 出现次,其余都不超过次,

所以的可能取值有.

（Ⅱ）证明:不妨设

记, ,共个差数.

假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,从而

又

这与矛盾,所以结论成立.