Question

【题目】已知函数， （、为常数）．　

（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）当函数在处取得极值，求函数的解析式；

（Ⅲ）当时，设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得,再利用点斜式求切线方程，（2）由极值定义得解方程组得， ．最后需验证极值条件.（3）由题意得存在使，即存在使，利用变量分离得的最小值，即．

试题解析：(Ⅰ)由 ()，可得 ()，

∴在点处的切线方程是，即，所求切线方程为．

(Ⅱ)∵又可得，且在处取得极值．

∴可得解得， ．

所求（）．

(Ⅲ)∵， ()．

依题存在使，∴即存在使，

不等式等价于 (*)

令（），∵．

∴在上递减，在上递增，故，

∵存在，不等式(*)成立，∴．所求．