Question

已知对于任意的a∈R，关于x的方程4x+2x-|a-

1

4

|-|a|+b=0总有实根，则实数b的取值范围是

（-∞，

1

4

）

．

Answer 1

分析：关于x的方程4x+2x-|a-

1

4

|-|a|+b=0总有实根，利用换元法将其转化为函数与x有交点，在（0，+∞）上恒成立，再利用绝对值不等式的性质，求出b的取值范围；

解答：解：∵关于x的方程4x+2x-|a-

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4

|-|a|+b=0总有实根，
令2^x=t＞0，得f（t）=t²+t-|a-

1

4

|-|a|+b=0在（0，+∞）上总有根，
令k=-|a-

1

4

|-|a|+b，得f（t）=t²+t+k

△＞0 f(0)＜0

可得k＜0，-|a-

1

4

|-|a|+b＜0，
b＜|a-

1

4

|+|a|，b小于|a-

1

4

|+|a|的最小值，
∵|a-

1

4

|+|a|≥

1

4

，
∴b＜

1

4

，
实数b的取值范围是：（-∞，

1

4

）；
故答案为（-∞，

1

4

）；

点评：本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现．