Question

（2011•广东模拟）已知二次函数．f（x）=x²+（2a-1）x+1-2a
（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程
（2）若y=f（x）在区间（-1，0）及(0，

1

2

)内各有一个零点．求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题．依题意：x²+（2a-1）x-2a=0有实根，△=（2a-1）²+8a=（2a+1）²≥0对于任意的a∈R（R为实数集）恒成立，得到f（x）=1必有实根．
（2）依题意：要使y=f（x）在区间（-1，0）及(0，

1

2

)内各有一个零点，只须

f(-1)＞0 f(0)＜0 f( 1 2 )＞0

，由此能求出实数a的范围．

解答：（本大题12分）
解：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题；…（3分）
依题意：f（x）=1有实根，
即x²+（2a-1）x-2a=0有实根
∵△=（2a-1）²+8a=（2a+1）²≥0对于任意的a∈R（R为实数集）恒成立
即x²+（2a-1）x-2a=0必有实根，
从而f（x）=1必有实根…（6分）
（2）依题意：要使y=f（x）在区间（-1，0）及(0，

1

2

)内各有一个零点
只须

f(-1)＞0 f(0)＜0 f( 1 2 )＞0

…（9分）
即

3-4a＞0 1-2a＜0 3 4 -a＞0

…（10分）
解得：

1

2

＜a＜

3

4

．（多带一个等号扣1分）…（12分）

点评：本题考查命题的真假判断，求实数a的取值范围，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．