Question

已知椭圆左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），点A、B坐标为A（a，0），B（0，b），若△ABC面积为，∠BF₂A=120°．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线y=kx+2与椭圆交于不同的两点M、N，且以MN为直径的圆恰好过原点，求实数k的取值；
（3）动点P使得、、成公差小于零的等差数列，记θ为向量与的夹角，求θ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）在RT△BOF₂中，∠BF₂O=60°，计算得：，由，可计算得，从而可求椭圆标准方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+2．与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设M，N两点坐标分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂，进而根据若以MN为直径的圆恰好过原点，x₁•x₂+y₁•y₂=0，代入即可求得k，最后检验看是否符合题意．
（3）设P的坐标，由、、成公差小于零的等差数列得：x²+y²=33≥x²＞0
从而，所以可求θ的取值范围．．
解答：解：（1）在RT△BOF₂中，∠BF₂O=60°，计算得：
由，计算得，所以椭圆标准方程为．
（2）设交点M、N坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
将直线y=kx+2代入椭圆整理得方程，3+4k²）x²+16kx+4=0；
由△＞0得
由MN为直径的圆过原点得x₁•x₂+y₁•y₂=0，所以x₁•x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，计算并检验得即为所求．
（3）设P（x，y），由、、成公差小于零的等差数列得：x²+y²=33≥x²＞0
所以，所以．
点评：本题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力．