Question

（本小题满分12分）

已知椭圆左、右焦点分别为F₁、F₂，点，点F₂在线段PF₁的中垂线上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角互补，求证：直线过定点，并求该定点的坐标。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）由

则且由已知直线F₂M与F₂N的倾斜角互补，

整理得直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）

【解析】

试题分析：（1）由椭圆C的离心率

得，其中，

椭圆C的左、右焦点分别为

又点F₂在线段PF₁的中垂线上

解得

  

（2）由题意，知直线MN存在斜率，其方程为

由

消去

设

则

且  

由已知直线F₂M与F₂N的倾斜角互补，

得

化简，得    

整理得

 直线MN的方程为，  

因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）  

考点：椭圆方程性质及直线与椭圆相交问题

点评：直线与椭圆相交问题常用的思路：直线方程与椭圆方程联立，整理为x的二次方程，利用根与系数的关系，将所求问题转化到两根来表示