题目内容
（2012•茂名二模）已知椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
| a2 |
| c |
| F2Q |
| PT |
| TF1 |
（1）求椭圆的方程；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）求证：过直线l：x=
| a2 |
| c |
分析：（1）根据椭圆离心率为
，椭圆上的动点P到直线l：x=
的最小距离为2，建立方程组，即可求得椭圆的方程；
（2）设点T的坐标，分类讨论：当P，T重合时，点T坐标为（2，0）和点（-2，0：当P，T不重合时，由
•
=0，得
⊥
，由|
|=2a及椭圆的定义，可得PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点，由此可求点T的轨迹C的方程；
（3）设两条切线为ME，MF，则可得O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，可求圆的方程，进而可得两圆的公共弦的方程，即可得到结论．
| 1 |
| 2 |
| a2 |
| c |
（2）设点T的坐标，分类讨论：当P，T重合时，点T坐标为（2，0）和点（-2，0：当P，T不重合时，由
| PT |
| TF1 |
| PT |
| TF1 |
| F2Q |
（3）设两条切线为ME，MF，则可得O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，可求圆的方程，进而可得两圆的公共弦的方程，即可得到结论．
解答：（1）解：依题意，∵椭圆离心率为
，椭圆上的动点P到直线l：x=
的最小距离为2，
∴
，…（2分）
∴
，∴b2=a2-c2=3 …（3分）
∴椭圆的方程为
+
=1 …（4分）
（2）解：设点T的坐标为（x，y）．
当P，T重合时，点T坐标为（2，0）和点（-2，0），…（5分）
当P，T不重合时，由
•
=0，得
⊥
．…（6分）
由|
|=2a及椭圆的定义，|
|=|
|-|
|=2a-|
|=|
|，…（7分）
所以PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点
在△QF1F2中，
=
|
|=a=2，…（8分）
所以有x2+y2=4．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=4．…（9分）
（3）证明：直线l：x=
与x2+y2=4相离，过直线上任意一点M（4，t）可作圆x2+y2=4③的两条切线ME，MF …（10分）
所以OE⊥ME，OF⊥MF，所以O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，…（11分）
其方程(x-2)2+(y-
)2=4+(
)2④…（12分）
EF为两圆的公共弦，③-④得：EF的方程为4x+ty-4=0 …（13分）
显然无论t为何值，直线EF经过定点（1，0）．…（14分）
| 1 |
| 2 |
| a2 |
| c |
∴
|
∴
|
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）解：设点T的坐标为（x，y）．
当P，T重合时，点T坐标为（2，0）和点（-2，0），…（5分）
当P，T不重合时，由
| PT |
| TF1 |
| PT |
| TF1 |
由|
| F2Q |
| PQ |
| QF2 |
| PF2 |
| PF2 |
| PF1 |
所以PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点
在△QF1F2中，
| OT |
| 1 |
| 2 |
| F2Q |
所以有x2+y2=4．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=4．…（9分）
（3）证明：直线l：x=
| a2 |
| c |
所以OE⊥ME，OF⊥MF，所以O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，…（11分）
其方程(x-2)2+(y-
| t |
| 2 |
| t |
| 2 |
EF为两圆的公共弦，③-④得：EF的方程为4x+ty-4=0 …（13分）
显然无论t为何值，直线EF经过定点（1，0）．…（14分）
点评：本题主要考查椭圆的标准方程，考查平面向量知识，考查圆的方程，考查运算求解能力及创新意识，属于中档题．
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