Question

【题目】已知椭圆离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆交于均在第一象限，与轴、轴分别交于、两点，设直线的斜率为,直线的斜率分别为，且(其中为坐标原点).证明: 直线的斜率为定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）直线的斜率为定值.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4，列出，结合，即可求得，的值，从而求得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，点的坐标分别为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理可得，，从而表示出，再将化简，即可求得的值.

试题解析：（Ⅰ）由题意得，

又，解得.

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）设直线的方程为，点的坐标分别为，由，消去得，

，

则.

∴，

∵

∴，即.

又

∴

又结合图象可知，.

∴直线的斜率为定值.