Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在处切线方程；

（2）讨论的单调区间；

（3）试判断时的实根个数说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）当时，函数的增区间是，减区间是；

当时，函数的增区间是，减区间是；

当时，函数的增区间是；

当时，函数的增区间是，减区间是;

（3）只有一个零点.

【解析】

（1）求出函数的导数，把代入，，代入导函数中，求出切线的斜率，求出切线方程；

（2），根据的正负性以及之间的大小关系，进行分类，确定的不同区间，求出不同区间下，函数的单调性；

（3）由（2）可知：当时，函数的增区间是，减区间是，求出函数的极大值、极小值，再判断出当时，，由此可以判断出函数的零点的情况.

（1），

当时，，，所以在处切线方程为

，化简得：,

即.

（2）,函数的定义域为，

①当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；

②当时，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；

③当时，， 当时，函数单调递增；

④当时，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；

综上所述：

当时，函数的增区间是，减区间是；

当时，函数的增区间是，减区间是；

当时，函数的增区间是；

当时，函数的增区间是，减区间是.

（3）由（2）可知：当时，函数的增区间是，减区间是，

所以是极大值点，是极小值点，，，时，，所以时，的实根个数为1个.