Question

17．若实数x，y满足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≥4\\ x-3y+12≥0\end{array}\right.$，则2x-y的最大值是6；x²+（y-1）²的最小值是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．利用x²+（y-1）²的几何意义求解即可．

解答 解：由约束条件不等式$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≥4\\ x-3y+12≥0\end{array}\right.$作出可行域如图：
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x-3y+12=0}\end{array}\right.$，解得：A（6，6），
化z=2x-y为y=2x-z，
由图可知，当直线y=2x-z过A（6，6）时z有最大值为2×6-6=6．
x²+（y-1）²的几何意义是可行域的点与（0，1）距离的平方，结合图形可知，x²+（y-1）²的最小值是PM的距离的平方，即点P到直线x+y=4的距离的平方：
即$（{\frac{|0+1-4|}{\sqrt{1+1}}）}^{2}$=$\frac{9}{2}$．
故答案为：$6；\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．