Question

已知点是函数f(x)＝a^x(a>0，且a≠1)的图像上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f(n)－c，数列{b_n}(b_n>0)的首项为c，且前n项和S_n满足：S_n－S_n－1＝＋(n≥2)．

(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)若数列{c_n}的通项c_n＝b_n·ⁿ，求数列{c_n}的前n项和R_n.

Answer 1

解：(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝^x，

a₁＝f(1)－c＝－c，

a₂＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，

a₃＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.

又数列{a_n}成等比数列，

∴a₁＝＝＝－＝－c，∴c＝1.

又公比q＝＝，∴a_n＝－^n－1＝－2ⁿ(n∈N^*)．

∴数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，

＝1＋(n－1)×1＝n，S_n＝n².

当n≥2时，b_n＝S_n－S_n－1＝n²－(n－1)²＝2n－1；

又b₁＝c＝1满足b_n＝2n－1，

∴b_n＝2n－1(n∈N^*)．

(2)∵c_n＝b_nⁿ＝(2n－1)ⁿ，

∴R_n＝c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n，

R_n＝1×¹＋3ײ＋5׳＋…＋(2n－1)×ⁿ，①

R_n＝1ײ＋3׳＋5×⁴＋…＋(2n－3)×ⁿ＋(2n－1)×^n＋1.②

由①－②得，

R_n＝＋2

－(2n－1)×^n＋1，

化简得，R_n＝＋2×