Question

已知抛物线x²=2y上有两个点A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）且x₁x₂=-2m（m为定值且m＞0）．
（1）求证：线段AB与轴的交点为定点（0，m）；
（2） （理科）过A，B两点做抛物线的切线，求夹角的取值范围；
（文科）过A，B两点做抛物线的切线，求两切线夹角的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）线段AB与轴交点设为M（0，y），A，B，m（x₂-x₁）=y（x₂-x₁），m=y．
由此知线段AB与轴的交点为定点（0，m）．
（2）（理）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．由x²=2y可得．由此借助导数可求出夹角的取值范围．
（文）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．由x²=2y可得，则y′=x过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为K_AP=x₁，K_AP=x₂，由此可求出两切线夹角的取值范围．
解答：解：（1）∵x₁x₂=-2m＜0∴线段AB与轴必有交点，且设为M（0，y）．
设A，B，
∴∴
∵x₁x₂=-2m∴-mx₂-x₁y=-mx₁-x₂y
∴m（x₂-x₁）=y（x₂-x₁）∵x₂≠x₁∴m=y．
即线段AB与轴的交点为定点（0，m）．
（2）（理）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．
由x²=2y可得，则y′=x，
∴过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为K_AP=x₁，K_AP=x₂，
若，则．
若，∴=，
∵x₁x₂=-2m∴，
当时，tan∠APB≥＞0∴∠APB＜．
当时，tan∠APB≤＜0∴π-∠APB＜π．
综上所述，，则时，∠APB＜.时，π-∠APB＜π．
（文）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．
由x²=2y可得，则y′=x，
∴过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为K_AP=x₁，K_AP=x₂，
若，则．
若，∴
∵x₁x₂=-2m∴．
∴，∠APB＜．
∴两切线夹角的取值范围为[，]．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要注意讨论思想的应用．解答的关键是列方程和分类讨论．属难题．