Question

已知a是给定的实常数，设函数f(x)＝(x－a)²(x＋b)e²，b∈R，x＝a是f(x)的一个极大值点．

(Ⅰ)求b的取值范围；

(Ⅱ)设x₁，x₂，x₃是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某种排列(其中{i₁，i₂，i₃，i₄}＝{1，2，3，4})依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x₄；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识． 　　(Ⅰ)解：f’(x)＝ex(x－a) 　　令 　　于是，假设 　　(1)当x1＝a 或x2＝a时，则x＝a不是f(x)的极值点，此时不合题意． 　　(2)当x1a且x2a时，由于x＝a是f(x)的极大值点，故x1＜a＜x2． 　　即 　　即 　　所以b＜－a 　　所以b的取值范围是(－∞，－a) 　　 　　此时 　　或 　　(2)当时，则或 　　 　　于是 　　 　　 　　此时 　　综上所述，存在b满足题意， 　　当b＝－a－3时， 　　时， 　　时，