Question

已知a是给定的实常数．设函数f(x)=(x-a)²(x+b)e^x，b∈R，x=a是f(x)的一个极大值点，
(Ⅰ)求b的取值范围；
(Ⅱ)设x₁，x₂，x₃是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某种排列(其中{i₁，i₂，i₃，i₄}={1，2，3，4})依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x₄；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)，
令，
则，
于是可设x₁，x₂是g(x)=0的两实根，且x₁＜x₂，
①当x₁=a或x₂=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意；
②当x₁≠a且x₂≠a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x₁＜a＜x₂，即g(a)＜0，
即a²+(3-a+b)a+2b-ab-a＜0，所以b＜-a，
所以b的取值范围是(-∞，-a）．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，假设存在b及x₄满足题意，
则①当时，则，
于是，
即，
此时，或
；
②当时，则或，
（ⅰ）若，则，
于是，
即，
于是，
此时；
（ⅱ）若，则，
于是，
即，
于是，
此时；
综上所述，存在b满足题意；
当b=-a-3时，；
当时，；
当时，。