Question

已知函数上为增函数，且．
（1）求θ的值；
（2）若在[1，e]上至少存在一个x，使得f（x）＞g（x）成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由上为增函数，知在[1，+∞）上恒成立，由此能求出θ的值．
（2）令，当m≤0时，在[1，e]上不存在一个x，使得f（x）＞g（x）成立；当m＞0时，=，由x∈[1，e]，知2e-2x≥0，mx²+m＞0，由此能求出m的取值范围．
解答：解：（1）∵数上为增函数，
∴在[1，+∞）上恒成立，
即0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故要使sinθ•x-1≥0在[1，+∞）恒成立，
只需sinθ•1-1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，
∵θ∈（0，π），∴．
（2）令，
①当m≤0时，x∈[1，e]，，
∴在[1，e]上不存在一个x，使得f（x）＞g（x）成立．
②当m＞0时，=，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，
mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，
，
只要，
解得．
故m的取值范围是．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．