Question

已知多项式f(n)=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n．
（Ⅰ）求f（-1）及f（2）的值；
（Ⅱ）试探求对一切整数n，f（n）是否一定是整数？并证明你的结论．
（Ⅰ） f（-1）=0，f（2）=16．
（Ⅱ） 对一切整数n，f（n）一定是整数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（-1）及f（2）的值，直接代入计算即可；
（Ⅱ）先证明：对一切正整数n，f（n）是整数．分两步，其中第二步是关键，利用二项式定理，结合假设可证；再证明n=0时，成立；当n为负整数时，令n=-m，则m是正整数，由n为正整数时，成立即可．

解答：解：（Ⅰ）f（-1）=-

1

5

+

1

2

-

1

3

+

1

30

=0
f(2)=

1

5

×25+

1

2

×24+

1

3

×23-

1

30

×2 =17
（Ⅱ）（1）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．
①当n=1时，f（1）=1，结论成立．
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时，结论成立，即 f(k)=

1

5

k5+

1

2

k4+

1

3

k3-

1

30

k是整数，则当n=k+1时，f(k+1)=

1

5

(k+1)5+

1

2

(k+1)4+

1

3

(k+1)3-

1

30

(k+1)=

C 0 5 k5+ C 1 5 k4+ C 2 5 k3+ C 3 5 k2+ C 4 5 k+ C 5 5

5

+

C 0 4 k4+ C 1 4 k3+ C 2 4 k2+ C 1 4 k+ C 4 4

2

+

C 0 3 k3+ C 1 3 k2+ C 2 3 k+ C 3 3

3

-

1

30

(k+1)
=f（k）+k⁴+4k³+6k²+4k+1
根据假设f（k）是整数，而k⁴+4k³+6k²+4k+1显然是整数．
∴f（k+1）是整数，从而当n=k+1时，结论也成立．
由①、②可知对对一切正整数n，f（n）是整数．…（7分）
（2）当n=0时，f（0）=0是整数．…（8分）
（3）当n为负整数时，令n=-m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，
所以 f(n)=f(-m)=

1

5

(-m)5+

1

2

(-m)4+

1

3

(-m)3-

1

30

(-m)=-

1

5

m5+

1

2

m4-

1

3

m3+

1

30

m=-f（m）+m⁴是整数．
综上，对一切整数n，f（n）一定是整数．…（10分）

点评：本题的考点是数学归纳法，考查数学归纳法的证题步骤，关键是第二步，必须利用归纳假设，同时，本题的证明还应注意分类讨论．