Question

已知多项式f(n)=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n．
（1）求f（1）及f（-1）的值；
（2）试探求对一切整数n，f（n）是否一定是整数？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据 f(n)=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，直接求出f（1）和f（-1）的值．
（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．（1⁰）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．再证n=0时，
f（0）是整数，再证当n为负整数时，令n=-m，m是正整数，证明f（-m）是整数，从而命题得证．

解答：解：（1）∵f(n)=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，∴f（1）=1； f（-1）=0．
（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．证明如下：
（1⁰）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．
①当n=1时，f（1）=1，结论成立．
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，结论成立，即f(k)=

1

5

k5+

1

2

k4+

1

3

k3-

1

30

k是整数，
则当n=k+1时，f(k+1)=

1

5

(k+1)5+

1

2

(k+1)4+

1

3

(k+1)3-

1

30

(k+1)=

C 0 5 k5+ C 1 5 k4+ C 2 5 k3+ C 3 5 k2+ C 4 5 k+ C 5 5

5

+

C 0 4 k4+ C 1 4 k3+ C 2 4 k2+ C 1 4 k+ C 4 4

2

+

C 0 3 k3+ C 1 3 k2+ C 2 3 k+ C 3 3

3

-

1

30

(k+1)=f（k）+k⁴+4k³+6k²+4k+1，
根据假设f（k）是整数，而k⁴+4k³+6k²+4k+1显然是整数，故f（k+1）是整数，从而当n=k+1时，结论也成立．
由①、②可知对对一切正整数n，f（n）是整数．…（7分）
（2⁰）当n=0时，f（0）=0是整数．…（8分）
（3⁰）当n为负整数时，令n=-m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，
所以f(n)=f(-m)=

1

5

(-m)5+

1

2

(-m)4+

1

3

(-m)3-

1

30

(-m)=-

1

5

m5+

1

2

m4-

1

3

m3+

1

30

m=-f（m）+m⁴是整数．
综上，对一切整数n，f（n）一定是整数．…（10分）

点评：本题主要考查二项式定理、用数学归纳法证明数学命题，推出当n=k+1时命题也成立，是解题的关键和难点，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．