Question

已知多项式f(n)＝n⁵＋n⁴＋n³－n．

(Ⅰ)求f(－1)及f(2)的值；

(Ⅱ)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)先用数学归纳法证明：对一切正整数n，是整数． 　　①当n＝1时，，结论成立． 　　②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，结论成立，即是整数，则当n＝k＋1时， 　　 　　＝ 　　根据假设是整数，而显然是整数． 　　∴是整数，从而当当n＝k＋1时，结论也成立． 　　由①、②可知对对一切正整数n，是整数．7分 　　(Ⅱ)当n＝0时，是整数．8分 　　(Ⅲ)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，由(1)是整数， 　　所以 　　＝是整数． 　　综上，对一切整数n，一定是整数．10分