Question

【题目】设 ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．
（3）求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：

由题设 ，

∴

∴1+a=1，∴a=0．

（2）解： ，x∈（1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即

设 ，即x∈（1，+∞），g（x）≤0．

①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾．

②若m＞0方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2

当△≤0，即 时，g'（x）≤0．

∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．

当 时，方程﹣mx2+x﹣m=0，其根 ， ，

当x∈（1，x2），g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾．

综上所述，

（3）解：由（2）知，当x＞1时， 时， 成立．

不妨令

所以 ，

累加可得 即

【解析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为 ，设 ，即x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．（3）由（2）知，当x＞1时， 时， 成立．不妨令 ，得出 ，再分别令k=1，2，…，n．得到n个不等式，最后累加可得．