Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆的方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线的极坐标方程为.

（I）当时，判断直线与的关系；

（II）当上有且只有一点到直线的距离等于时，求上到直线距离为的点的坐标.

Answer 1

【答案】（I）当时，直线与相交；（II）和.

【解析】

试题分析：（I）当时，直线的极坐标方程为，根据极坐标与直角坐标互化公式得，圆的直角坐标方程为，圆心到直线的距离所以直线与圆相交；（II）分析可知，若圆上只有一点到直线的距离为，则直线与圆位置关系为相离，且圆心到直线距离为，则问题转化为过圆心且与平行的直线与圆的交点解方程组即可求出点的坐标.

试题解析：（I）圆的普通方程为：， ……………………………1分

直线的直角坐标方程为：， ……………………………2分

圆心（1,1）到直线的距离为， ……………………………4分

所以直线与相交. …………………………… 5分

（II）上有且只有一点到直线的距离等于，即圆心到直线的距离为， ………… 7分

过圆心与平行的直线方程式为：， ……………………………8分

联立方程组解得 ……………………………9分

故所求点为（2,0）和（0,2） ……………………………10分