题目内容
【题目】已知椭圆C：
＋
＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P
.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且
＝
＋
，求点Q的轨迹方程．
【答案】见解析
【解析】
解：(1)由椭圆定义知，
2a＝|PF1|＋|PF2|
＝
＋
＝2
，
所以a＝.
又由已知，得c ＝1，
所以椭圆C的离心率e＝
＝
＝
.
(2)由(1)知，椭圆C的方程为
＋y2＝1.
设点Q的坐标为(x，y)．
①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为
.
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由
＝
＋
，得
＝
＋
，
即
＝
＋
＝
.①
将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，
得k2>
.
由②可知，x1＋x2＝
，x1x2＝
，
代入①中并化简，得x2＝
.③
因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝
，代入③中并化简，
得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2>，可知0<x2<，
即x∈
∪
.
又点满足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈
.
由题意知Q(x，y)在椭圆C内，
所以－1≤y≤1.
又由10(y－2)2＝18＋3x2有
(y－2)2∈
，且－1≤y≤1，
则y∈
.
所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，
其中x∈，y∈.
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