Question

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求PC的长．

Answer 1

证明：（1）∵=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），
∴，，
∴，，
即AP⊥AB且AP⊥AD，
又∵AB∩AD=A
∴AP⊥平面ABCD；
（2）∵=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），
∴，，
∴．
（1）由已知中向量=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），根据两个向量的数量积为0，两个向量垂直，我们可以判断出AP⊥AB且AP⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理得到PA⊥底面ABCD；
（2）由已知中向量=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），根据向量加法的三角形法则，可以求出向量PC的坐标，进而代入向量模的计算公式，得到答案．
点评：本题考查的知识点是向量语言表述线线垂直的关系，空间点到点距离的运算，其中（1）中证得AP⊥AB且AP⊥AD是关键，（2）中计算出向量PC的坐标是关键．