Question

已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上且

AP

=2

PB

，设点P的轨迹方程为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为(

3

2

，3)，求△QMN的面积S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点A、B、P的坐标分别为（a，0）、（0，b）、（x，y），由定比分点坐标公式及|AB|=2建立轨迹方程．
（II）设M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），得到MN的长度，求出点Q到直线MN的距离，代入面积公式运算，应用点M在曲线C上，并结合基本不等式求出面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）设点A、B、P的坐标分别为（a，0）、（0，b）、（x，y），
则

x= a 3 y= 2b 3

即

a=3x b= 3 2 y.

由|AB|=2得a²+b²=4，
所以曲线C的方程为

9x2

4

+

9y2

16

=1．（5分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），
则|MN|=2

x12+y12

．
当x₁≠0时，设直线MN的方程为y=

y1

x1

x，
则点Q到直线MN的距离h=

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

，
∴△QMN的面积S=

1

2

•2

x12+y12

•

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

=|

3

2

y1-3x1|．（11分）
∴S2=|

3

2

y1-3x1|2=9x12+

9

4

y12-9x1y1．
又∵

9x12

4

+

9y12

16

=1，
∴9x12+

9

4

y12=4．
∴S²=4-9x₁y₁．
而1=

9x12

4

+

9y12

16

≥-2•

3x1

2

•

3y1

4

=-

9x1y1

4

，
则-9x₁y₁≤4．
即S2≤8，S≤2

2

．
当且仅当

3x1

2

=-

3y1

4

时，
即x1=-

1

2

y1时，“=”成立．
当x₁=0时，|MN|=2•

4

3

=

8

3

，
∴△QMN的面积S=

1

2

•

8

3

•

3

2

=2．
∴S有最大值2

2

．（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线位置关系的应用．