Question

已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上且，设点P的轨迹方程为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为，求△QMN的面积S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设点A、B、P的坐标分别为（a，0）、（0，b）、（x，y），由定比分点坐标公式及|AB|=2建立轨迹方程．
（II）设M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），得到MN的长度，求出点Q到直线MN的距离，代入面积公式运算，应用点M在曲线C上，并结合基本不等式求出面积的最大值．
解答：解：（Ⅰ）设点A、B、P的坐标分别为（a，0）、（0，b）、（x，y），
则即
由|AB|=2得a²+b²=4，
所以曲线C的方程为．（5分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），
则．
当x₁≠0时，设直线MN的方程为，
则点Q到直线MN的距离，
∴△QMN的面积．（11分）
∴．
又∵，
∴．
∴S²=4-9x₁y₁．
而，
则-9x₁y₁≤4．
即．
当且仅当时，
即时，“=”成立．
当x₁=0时，，
∴△QMN的面积．
∴S有最大值．（14分）
点评：本题考查轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线位置关系的应用．