Question

如果f（x）=2x+1，则

f(f(f(…f(x)…)))

n个f

=

 

．

Answer 1

分析：本题知道了外层与内层函数的解析式求复合函数的解析式，解答此题应用代入法，由于本题是求n重复合函数的解析式，故解答时宜用数学归纳法来求解．

解答：解：当n=1时，f（x）=2x+1=2¹x+2¹-1，
当n=2时，f（f（x））=f（2x+1）=2（2x+1）+1=4x+3=2²x+2²-1，
假设当n=k时，

f(f(f(…f(x)…)))

k个f

=2^kx+2^k-1
n=k+1时，

f(f(f(…f(x)…)))

k+1个f

=2×（

f(f(f(…f(x)…)))

k个f

）=2×（2^kx+2^k-1）+1=2^k+1x+2^k+1-1
故有

f(f(f(…f(x)…)))

n个f

=2ⁿx+2ⁿ-1
故答案为：2ⁿx+2ⁿ-1

点评：本题考点是函数解析式的求解与常用方法，本题考查求复合函数的解析式，此类题做法常用代入法，代入法是求复合函数解析式的一种经常用的方法，难度也较低，认真整理变形即可得到正确的解析式．