题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0，且a＞1）的右焦点为F（c，0），离心率为e．直线l：y=ex-a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点．
（1）试用a、b、c表示点M的坐标．
（2）若
AM
=λ
AB
，证明：λ=1-e2．
分析：（1）根据题意，可得方程组
y=ex+a
x2
a2
+
y2
b2
=1
，解可得到点M的坐标．
（2）由题意知A、B的坐标分别是(-
a
e
，0) ，(0，a)，由
AM
=λ
AB
，得(-c+
a
e
，
b2
a
)=λ(
a
e
，a)，由此可解λ=1-e2，即可得证．
解答：解：（1）由
y=ex+a
x2
a2
+
y2
b2
=1
得
x=-c
y=
b2
c
，
∴点M的坐标是（-c，
b2
a
）．
（2）：证明：∵A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，
∴A、B的坐标分别是(-
a
e
，0) ，(0，a)，
由
AM
=λ
AB
，得(-c+
a
e
，
b2
a
)=λ(
a
e
，a)，
即
a
e
-c=λ•
a
e
b2
a
=λa
，解得λ=1-e2．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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