Question

若函数f（x）=-4sin²x+4cosx+1-a，当x∈[-

π

3

，

2π

3

]时f（x）=0恒有解，则实数a的取值范围是

[-4，5]

．

Answer 1

分析：由f（x）=-4sin²x+4cosx+1-a=-4（1-cos²x）+4cosx+1-a=4(cosx+

1

2

)2-4-a，由f（x）=0恒有解可得4(cosx+

1

2

)2-4=a在x∈[-

π

3

，

2π

3

]恒有解，结合二次函数的性质可求当x∈[-

π

3

，

2π

3

]时4(cosx+

1

2

)2-4的范围即a的范围

解答：解：∵f（x）=-4sin²x+4cosx+1-a
=-4（1-cos²x）+4cosx+1-a
=4cos²x+4cosx-3-a
=4(cosx+

1

2

)2-4-a
又∵f（x）=0恒有解
∴0=4(cosx+

1

2

)2-4-a即4(cosx+

1

2

)2-4=a在x∈[-

π

3

，

2π

3

]恒有解
由x∈[-

π

3

，

2π

3

]可得cosx∈[-

1

2

，1]
∴-4≤4(cosx+

1

2

)2-4≤5
∴-4≤a≤5
故答案为：[-4，5]

点评：本题主要考查了三角函数的同角平方关系的应用，由角的范围求解三角函数的范围，及二次函数在闭区间上的值域的 求解，属于函数知识的综合应用．