选修4-2:矩阵与变换已知二阶矩阵A有特征值λ1=1及对应的一个特征向量e1=11和特征值λ2=2及对应的一个特征向量e2=10.试求矩阵A．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=1及对应的一个特征向量e1=

和特征值λ₂=2及对应的一个特征向量e2=

，试求矩阵A．

分析：先假设矩阵A，利用特征值、特征向量的定义，建立方程组，即可求得矩阵A．

解答：解：设矩阵A=

（a，b，c，d∈R）
因为

是矩阵A的属于λ₁=1的特征向量，则有

a	b
c	d

①，…（4分）
又因为

是矩阵A的属于λ₂=2的特征向量，则有

a	b
c	d

②，…（6分）
根据①②，则有

a+b=1

c+d=1

a=2

c=0

…（8分）
从而a=2，b=-1，c=0，d=1，因此A=

2-1

，…（10分）

点评：本题考查矩阵特征值、特征向量的定义，考查待定系数法求矩阵，理解特征值、特征向量的定义是关键．

练习册系列答案

初中学业考试复习学与练指导丛书系列答案

考点解析与知能训练系列答案

和e2=

．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为

(t为参数）
（I）若将曲线C₁与C₂上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′₁和C′₂，求出曲线C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′₂垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=

f(x)+m

的定义域为R，求实数m的取值范围．

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）选修4-2：矩阵与变换
变换T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M′（2x，4y）．
（Ⅰ）求变换T的矩阵；
（Ⅱ）圆C：x²+y²=1在变换T的作用下变成了什么图形？
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C₁的极坐标方程为：5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0，直线?的参数方程为：

x=1-

y=t

（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线?上有一定点P（1，0），曲线C₁与?交于M，N两点，求|PM|．|PN|的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a²+

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

变换是将平面上每个点的横坐标乘，纵坐标乘，变到点.

（Ⅰ）求变换的矩阵；

（Ⅱ）圆在变换的作用下变成了什么图形？

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线上有一定点，曲线与交于M，N两点，求的值．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知为实数，且

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求实数m的取值范围．

（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它们所对应的特征向量分别为

．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为

为参数），C₂的参数方程为

为参数）
（I）若将曲线C₁与C₂上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′₁和C′₂，求出曲线C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′₂垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若