题目内容

已知数列{Pn}满足：（1）P1=
2
3
，P2=
7
9
；（2）Pn+2=
2
3
Pn+1+
1
3
Pn．
（Ⅰ）设bn=Pn+1-Pn，证明数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
Pn．
（Ⅰ）bn+1=Pn+2-Pn+1=-
1
3
Pn+1+
1
3
Pn=-
1
3
bn，
又b1=
1
9
，
∴数列{bn}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=
1
9
(-
1
3
)n-1=(-
1
3
)n+1，
即Pn+1-Pn=bn=(-
1
3
)n+1，
∴Pn=P1+（P2-P1）+（P3-P2）+…+（Pn-Pn-1）=
2
3
+(-
1
3
)2+(-
1
3
)3++(-
1
3
)n=
3
4
+
1
4
•(-
1
3
)n．
∴
lim
n→∞
Pn=
lim
n→∞
[
3
4
+
1
4
•(-
1
3
)n]=
3
4
．
练习册系列答案
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已知数列{Pn}满足：（1）P1=
2
3
，P2=
7
9
；（2）Pn+2=
2
3
Pn+1+
1
3
Pn．
（Ⅰ）设bn=Pn+1-Pn，证明数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
Pn．
已知数列{an}满足a1=1，a2=-1，当n≥3，n∈N*时，
an
n-1
-
an-1
n-2
=
3
(n-1)(n-2)
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在k∈N*，使得n≥k时，不等式Sn+（2λ-1）an+8λ≥4对任意实数λ∈[0，1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在定点A，使得三点Pn(an，2an+5)、Pm(am，2am+5)、Pk(ak，2ak+5)（其中n、m、k是互不相等的正整数且n＞m＞k≥2）到定点A的距离相等？若存在，求出点A及正整数n、m、k；若不存在，说明理由．
（2012•湖北模拟）已知数列{an}满足：a1=-5，an+1=2an+3n+1，已知存在常数p，q使数列{an+pn+q}为等比数列．
（1）求常数p、q及{an}的通项公式；
（2）解方程an=0．
（3）求|a1|+|a2|+…+|an|．
已知数列{Pn}满足：（1），；（2）．
（Ⅰ）设bn=Pn+1-Pn，证明数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求．

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