Question

已知数列{P_n}满足：（1）P1=

2

3

，P2=

7

9

；（2）Pn+2=

2

3

Pn+1+

1

3

Pn．
（Ⅰ）设b_n=P_n+1-P_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求

lim

n→∞

Pn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对Pn+2=

2

3

Pn+1+

1

3

Pn进而变形Pn+2-Pn+1=-

1

3

Pn+1+

1

3

Pn，进而可证明{P_n+1-P_n}为等比数列，即数列{b_n}是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得数列{b_n}的通项公式，即数列{P_n+1-P_n}的通项公式，进而利用分组法，进行求和得P_n=

3

4

+

1

4

•(-

1

3

)n，进而可求得

lim

n→∞

Pn．

解答：解：（Ⅰ）bn+1=Pn+2-Pn+1=-

1

3

Pn+1+

1

3

Pn=-

1

3

bn，
又b1=

1

9

，
∴数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

1

9

(-

1

3

)n-1=(-

1

3

)n+1，
即Pn+1-Pn=bn=(-

1

3

)n+1，
∴P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）=

2

3

+(-

1

3

)2+(-

1

3

)3++(-

1

3

)n=

3

4

+

1

4

•(-

1

3

)n．
∴

lim

n→∞

Pn=

lim

n→∞

[

3

4

+

1

4

•(-

1

3

)n]=

3

4

．

点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．