Question

如图1，直角梯形中，，，，点为线段上异于的点，且，沿将面折起，使平面平面，如图2.
（1）求证：平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题考查立体几何中的线面、面面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想．第一问，法一，由，利用线面平行的判定得面，再利用面面平行的判定得面面，最后利用面面平行的性质得面；法二，建立空间直角坐标系，要证明线面平行，只需证AB与面DFC的法向量垂直即可；第二问，建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式计算体积，当体积最大值时，AE=1，再利用向量法求平面ABC和平面AEFD的法向量，利用夹角公式求二面角的余弦值.
试题解析：（1）证明：∵，面，面，
∴面，　　　　　　　　　　                   2分
同理面，                                    3分
又，∴面面，                4分
又面，∴面.                      5分
（2）法一：∵面面，又，面面，
∴面.
以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立
空间直角坐标系，            　              7分
设，则，
，
∴当时，三棱锥体积最大.                9分
∵， ∴，         10分
设平面的法向量， ，　∴，
令，得平面的一个法向量，           11分
又面的一个法向量为，
∴，                    12分　
∴平面与平面所成锐二面角的余弦是 .            13分
法二：∵面面，又，面面，
∴面
以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直
角坐标系．                                           2分
设，则.  
（1），              3分
面的一个法向量为，                       4分
，∴，又面，
∴面.                                          7分
（2）同法一．