Question

（本小题满分14分）
已知椭圆方程为（），抛物线方程为．过抛物线的焦点作轴的垂线，与抛物线在第一象限的交点为，抛物线在点处的切线经过椭圆的右焦点． 
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设为椭圆上的动点，由向轴作垂线，垂足为，且直线上一点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

Answer 1

(1) 椭圆方程为，抛物线方程为．
(2) 当，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是以原点为圆心，半径为的圆；　                    
当，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是焦点在轴上的椭圆；　                            
当，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是焦点在 
轴上的椭圆.

（1）抛物线的焦点为，过抛物线的焦点垂直于轴的直线为.
由得点的坐标为.　          …………………………2分
由得，∴，故.
∴抛物线在点的切线方程为，即. …………4分
令得，∴椭圆的右焦点的坐标为.         …………5分
又由椭圆方程及知，右焦点的坐标为.  …………6分
∴，解得.  　               …………………………7分
∴椭圆方程为，抛物线方程为．   …………………8分
（2）设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为,
且，.由已知知.　         …………………………10分
将其代入椭圆方程得.　            …………………………11分
当，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是以原点为圆心，半径为的圆；　                      …………………………12分
当，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是焦点在轴上的椭圆；　                            …………………………13分
当，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是焦点在 
轴上的椭圆. 　                               …………………………14分