题目内容

已知A、B是△ABC的两个内角，
a
=
2
cos
A+B
2
i
+sin
A-B
2
j
，其中
i
、
j
为互相垂直的单位向量，若|
a
|=
6
2
．求tanA•tanB的值．
分析：利用向量模的计算公式，建立等式，再利用二倍角公式化简函数，即可求得结论．
解答：解：∵|
a
|=
6
2
，∴|
a
|2=
3
2
，
∵
a
=
2
cos
A+B
2
i
+sin
A-B
2
j
，∴(
2
cos
A+B
2
)2+(sin
A-B
2
)2=
3
2
，…（2分）
即2cos2
A+B
2
+sin2
A-B
2
=
3
2
，即cos(A+B)+1+
1-cos(A-B)
2
=
3
2
，…（6分）
∴cos(A+B)-
1
2
cos(A-B)=0，∴cosAcosB=3sinAsinB，…（10分）
∴tanA•tanB=
sinAsinB
cosAcosB
=
1
3
．…（12分）
点评：本题考查向量模的计算，考查利用二倍角公式化简函数，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知A、B是△ABC的两个内角，且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的两个实根，求m的取值范围
已知A、B是△ABC的两个内角，若p：sinA＜sin（A+B），q：A∈（0，
π
2
），则p是q的（　　）
已知A，B是△ABC的两个内角，
a
=
2
cos
A+B
2
i
+sin
A-B
2
j
，（其中
i
，
j
是互相垂直的单位向量），若|
a
|=
6
2
．
（1）试问tanA•tanB是否为定值，若是定值，请求出，否则请说明理由；
（2）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状．
（2013•枣庄二模）已知A，B是△ABC的两个内角，向量
a
=(
2
cos
A+B
2
，sin
A-B
2
)，且|
a
|=
6
2
．
（1）证明：tanAtanB为定值；
（2）若A=
π
6
，AB=2，求边BC上的高AD的长度．

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