题目内容

一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料．资料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台（t为常数），期间某天由于商家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台，11月5日的销售量为18台．
（I）若商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量．
（II）若11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数．

解：（I）根据题意，商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列{a_n}，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，解之得 $\text{[math]}$
因此，这15天家电M的总销售量为S₁₅=15×2+ $\text{[math]}$ =450台．…（6分）
（II）设从11月1日起，第n天的销售量最多，1≤n≤30，n∈N^*
由（I），若商家在11月1日至15日之间未提价，则这15天家电M的总销售量为450台，
而450＞414不符合题意，故n＜15；
若n=5，则S₁₅=5×2+ $\text{[math]}$ +10×16+ $\text{[math]}$ =120＜414，
也不符合题意，故n＞5
因此，前n天每天的销售量组成一个首项为2，公差为4的等差数列，第n+1天开始每天的销售量组成首项为4n-4，
公差为-2的等差数列．…（10分）
∴S₁₅=[2n+ $\text{[math]}$ ]+[（15-n）（4n-4）+ $\text{[math]}$ ]=-3n²+93n-270
由已知条件，得S₁₅=414，即-3n²+93n-270=414
解之得n=15或n=19（舍去19）
∴n=12，出售家电M的台数为2+11×4=46台
故在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．
分析：（I）由题意，在11月1日至15日之间该商场家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列{a_n}，结合等差数列的通项公式解出首项a₁和公差t，从而由等差数列求和公式得到这15天家电M的总销售量．
（II）设从11月1日起，第n天的销售量最多（1≤n≤30，n∈N^*）．根据（I）前15天的销售量大于414，可得n＜15；通过假设n=5算出销售量为120＜414，得n＞5．因此n为大于5而小于15的整数，因此结合题中数据列出S₁₅关于n的式子，解方程S₁₅=414，即可得到n=15，可得在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．
点评：本题给出商场家电的销售量成等差数列的模型，求家电M哪一天的销售量为最多．着重考查了函数、数列的基本知识及其应用能力，考查了函数方程思想和转化化归思想的应用，属于中档题．