题目内容

二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线 $数学公式$ 垂直
（1）求f（x）的解析式
（2）若函数g（x）= $数学公式$ 在（0，2）上是减函数，求实数m的取值范围．

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（0）=2∴c=2
∵f（x）=f（-2-x）
∴图象的对称轴 $\text{[math]}$
导函数图象与直线 $\text{[math]}$ 垂直
∴2a=2从而解得：a=1 b=2
∴a=1 b=2 c=2
∴f（x）=x²+2x+2 （x∈R）…（6）
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +2在（0，2）上是减函数
当2-m≤0时，该函数在（0，+∞）上单调递增，故不符号题意．
g（x）= $\text{[math]}$ +2≥2 $\text{[math]}$ +2
该函数在（0， $\text{[math]}$ ）上是减函数，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上递减
∴ $\text{[math]}$
∴m≤-2…（12）
分析：（1）根据函数模型设出函数解析式，然后根据f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线 $\text{[math]}$ 垂直建立方程，解之即可；
（2）根据g（x）= $\text{[math]}$ +2图象的性质建立不等式式组，解之即可．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数解析式和二次函数的性质和对勾函数的性质，属于基础题．