Question

已知函数f（x）满足f(x)=x3+f ′(

2

3

)x2-x+C（其中f ′(

2

3

)为f（x）在点x=

2

3

处的导数，C为常数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，求常数C；
（3）在（2）的条件下，若f(-

1

3

)＞0，求函数f（x）的图象与x轴围成的封闭图形的面积．

Answer 1

（1）由f(x)=x3+f ′(

2

3

)x2-x+C，
得f ′(x)=3x2+2f ′(

2

3

)x-1．
取x=

2

3

，得f ′(

2

3

)=3×(

2

3

)2+2f ′(

2

3

)×(

2

3

)-1，
解之，得f ′(

2

3

)=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+C．
从而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

1

3

)(x-1)，
列表如下：

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有极大值	↘	有极小值	↗

∴f（x）的单调递增区间是(-∞ ， -

1

3

)和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是(-

1

3

 ， 1)
（2）由（1）知，[f(x)]极大值=f(-

1

3

)=(-

1

3

)3-(-

1

3

)2-(-

1

3

)+C=

5

27

+C；
[f（x）]_极小值=f（1）=1³-1²-1+C=-1+C．
∴方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，
等价于[f（x）]_极大值=0或[f（x）]_极小值=0．
∴常数C=-

5

27

或C=1．
（3）由（2）知，f(x)=x3-x2-x-

5

27

或f（x）=x³-x²-x+1．
而f(-

1

3

)＞0，所以f（x）=x³-x²-x+1．
令f（x）=x³-x²-x+1=0，得（x-1）²（x+1）=0，x₁=-1，x₂=1．
∴所求封闭图形的面积=

∫

1-1

(x3-x2-x+1)dx=

( 1 4 x4- 1 3 x3- 1 2 x2+x)|

1-1

=

4

3

．