Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=(a+c， b-a)，

n

=(a-c， b)，且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若向量

s

=(0，-1)，

t

=(cosA，2cos2

B

2

)，试求|

s

+

t

|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量垂直，数量积为0，通过余弦定理，直接求角C的大小；
（Ⅱ）利用向量

s

=(0，-1)，

t

=(cosA，2cos2

B

2

)，直接求|

s

+

t

|的平方的表达式，然后求出它的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意得

m

•

n

=(a+c， b-a)•(a-c， b)=a2-c2+b2-ab=0，（2分）
即c²=a²+b²-ab．（3分）．
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

．（5分）
（Ⅱ）∵

s

+

t

=(cosA，2cos2

B

2

-1)=(cosA，cosB)，（6分）
∴|

s

+

t

|2=cos2A+cos2B=cos2A+cos2(

2π

3

-A)
=

1+cos2A

2

+

1+cos( 4π 3 -2A)

2

=

1

4

cos2A-

3

4

sin2A+1（8分）
=-

1

2

sin(2A-

π

6

)+1．（10分）
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

∴-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1
所以

1

2

≤|

s

+

t

|2＜

5

4

，
故

2

2

≤|

s

+

t

|＜

5

2

．（12分）

点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，注意角的范围的应用，考查计算能力，转化思想的应用．