Question

12．在等差数列{a_n}中，4a₁₂=-3a₂₃＞0，令b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$，S_n为{b_n}的前n项和，设S${\;}_{{n}_{0}}$为数列{S_n}的最大项，则n₀=14．

Answer 1

分析 设公差为d，4a₁₂=-3a₂₃＞0得到a₁₂=-$\frac{33}{7}$d，d＜0，判断出a₁₇＜0，a₁₆＞0，得到b₁₅=$\frac{30d}{7}$＜0，b₁₆=-$\frac{10}{63}$d＞0，即可得到S₁₆＜S₁₅＜S₁₄，问题得以解决．

解答 解：设公差为d，4a₁₂=-3a₂₃＞0，
∴4a₁₂=-3（a₁₂+11d）＞0，
∴a₁₂=-$\frac{33}{7}$d，d＜0，
∴a₁₇=a₁₂+5d=$\frac{2}{7}$d＜0，a₁₆=a₁₂+4d=-$\frac{5}{7}$d＞0，
∴a₁＞a₂＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇
∴b₁＞b₂＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈
∵b₁₅=$\frac{{a}_{15}{a}_{16}}{{a}_{17}}$＜0，b₁₆=$\frac{{a}_{16}{a}_{17}}{{a}_{18}}$＞0
a₁₅=a₁₂+3d=-$\frac{12}{7}$d＞0，a₁₈=a₁₂+6d=$\frac{9}{7}$d＜0，
∴b₁₅=$\frac{30d}{7}$＜0，b₁₆=-$\frac{10}{63}$d＞0，
∴b₁₅+b₁₆=$\frac{30}{7}$d-$\frac{10}{63}$d＜0，
∴S₁₆＜S₁₅＜S₁₄，
∴S₁₄最大．
故答案为：14

点评 本题考查了等差数列通项公式，以及前和项和最值问题，关键是判断b₁₅+b₁₆的和，属于中档题．