Question

1．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，F为C的右焦点，A（0，-2），直线FA的斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设E（x₀，y₀）是C上一点，从坐标原点O向圆E：（x-x₀）²+（y-y₀）²=3作两条切线，这两条切线的斜率分别是k₁，k₂，求证：k₁•k₂是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，以及直线FA的斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．列出方程组，求解即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）通过直线与圆相切，列出方程，推出k₁，k₂是关于x方程$（{x_0}^2-3）{x^2}-2{x_0}{y_0}x+{y_0}^2-3=0$的两根，通过韦达定理以及椭圆方程化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ \frac{2}{c}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{3}\\ c=2\sqrt{2}\end{array}\right.$，C的方程是$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$．…（6分）
（Ⅱ）证明：依题意有$\frac{{|{k_1}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_1}^2}}}=3$，$\frac{{|{k_2}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_2}^2}}}=3$，
整理得$（{x_0}^2-3）{k_1}^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+{y_0}^2-3=0$，$（{x_0}^2-3）{k_2}^2-2{x_0}{y_0}{k_2}+{y_0}^2-3=0$．
所以k₁，k₂是关于x方程$（{x_0}^2-3）{x^2}-2{x_0}{y_0}x+{y_0}^2-3=0$的两根，
根据韦达定理有${k_1}•{k_2}=\frac{{{y_0}^2-3}}{{{x_0}^2-3}}$，
因为$\frac{{{x_0}^2}}{12}+\frac{{{y_0}^2}}{4}=1$，所以${y_0}^2=4-\frac{{{x_0}^2}}{3}$，
因此${k_1}•{k_2}=\frac{{4-\frac{{{x_0}^2}}{3}-3}}{{{x_0}^2-3}}=-\frac{1}{3}$． …（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆的方程与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．