Question

（本题满分15分）已知函数．
（1）求函数的图像在点处的切线方程；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（3）当时，证明．

Answer 1

1）解：因为，所以，
函数的图像在点处的切线方程；…………3分
（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………4分
令，则，……………………4分
令，则，
所以函数在上单调递增．………………………5分
因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，…6分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．…………7分
所以．故整数的最大值是3．………………………8分
（3）由（2）知，是上的增函数，……………9分
所以当时，．…………………10分
即．
整理，得．………………11分
因为， 所以．…………………12分
即．即．………………13分
所以．………………………14分

略