题目内容
对任意x∈(0，
]，不等式psin2x+4sin2x+4cos4x≥1恒成立，则实数p的取值范围是
| π |
| 2 |
[4-4
，+∞）
| 3 |
[4-4
，+∞）
．| 3 |
分析：先利用移项及同角三角函数间的基本关系化简不等式，然后将p分离出来，再根据基本不等式求出不等式一侧的最大值，使p大于不等式一侧的最大值，即可使不等式恒成立．
解答：解：∵psin2x+4sin2x+4cos4x≥1，
∴psin2x≥1-4sin2x-4cos4x=-4sin4x+4sin2x-3，
∴p≥-4sin2x+4-
，
而4sin2x+
≥4
，
∴4-（4sin2x+
）的最大值为4-4
，
则p的取值范围是[4-4
，+∞）．
故答案为：[4-4
，+∞）
∴psin2x≥1-4sin2x-4cos4x=-4sin4x+4sin2x-3，
∴p≥-4sin2x+4-
| 3 |
| sin2x |
而4sin2x+
| 3 |
| sin2x |
| 3 |
∴4-（4sin2x+
| 3 |
| sin2x |
| 3 |
则p的取值范围是[4-4
| 3 |
故答案为：[4-4
| 3 |
点评：本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，以及函数恒成立问题和基本不等式的应用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系及基本不等式是解本题的关键．
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