题目内容
【题目】如图，矩形
和菱形
所在的平面相互垂直，
，
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）可证
平面
，从而得到
，又可证
，从而得到
平面
.
（2）以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量和面
的法向量后计算它们的夹角的余弦值，再结合二面角为钝角以及同角的三角函数基本关系式可求二面角的正切值.
（1）证明：∵矩形
和菱形所在的平面相互垂直，
，
∵矩形
菱形
，
平面， ∴平面.
∵
平面，∴，
∵菱形中，
，
，
，故
，
∴由勾股定理得
，∴，
∵
，∴平面.
（2）由（1）可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由已知
，
，
，
，
，
，
设平面的法向量
，
则
，取
得
.
设平面的法向量
，则
，取
得
设二面角
的平面角为
，
则
且
，所以
，
由为钝角，所以二面角的正切值为.
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【题目】某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班
名学生每周课下钻研数学时间
(单位：小时)与高三下学期期中考试数学解答题得分
，数据如下表：
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 30 | 38 | 44 | 48 | 50 | 54 |
（1）根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分与该学生课下钻研数学时间的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为
小时其数学考试中的解答题得分；
（2）从这人中任选
人，求人中至少有
人课下钻研数学时间不低于
小时的概率.
参考公式：
，其中
，
；参考数据：
【题目】“地摊经济”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据
，如表所示：
试销单价 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量 |
| 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知
，
，
，
（1）试求
，若变量
，
具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程
；
（2）用
表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与
对应的产品销量的估计值．当销售数据
对应的残差的绝对值
时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取2个，求恰好2个都是“好数据”的概率．
（参考公式：线性回归方程中
，
的最小二乘估计分别为
，
）
【题目】2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：
该经济农作物亩产量 | 900 | 1200 | 该经济农作物市场价格（元 | 15 | 20 | |
概率 |
|
| 概率 |
|
|
（1）设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为
元，求的分布列；
（2）若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率；
（3）2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的其他方面的支出与收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫？并说明理由.