Question

【题目】已知抛物线：，过点的直线交于，两点，过点，分别作的切线，两切线相交于点.

（1）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值；

（2）记的面积为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）设，的坐标分别为，，利用导数的几何意义知，，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理可得结果；

（2）首先得出切线，的方程，求出，点到直线的距离，由三角形面积公式结合二次函数的性质得结果.

（1）证明：因为，两点在曲线上，故设，的坐标分别为，.

因为，所以，则，.

设直线的斜率为，则其方程为，由得，

，，，

所以，所以为定值.

（2）解：设点坐标为，

由（1）知切线的方程为①

切线的方程为②，

①②得；

①②得.

由（1）知，，所以点坐标为，

所以.

因为点到直线的距离.

所以.

因为，所以当时，的最小值为.