Question

已知函数f(x2-3)=loga

x2

6-x2

(a＞0，a≠1)．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）≥log_a2x，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令 x²-3=t，代入函数的解析式求得 f（t）=loga

t+3

3-t

，f（x）=loga

x+3

3-x

．由

x+3

3-x

＞0 求得函数的定义域关于原点对称，再由f（-x）=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
（2）当a＞1时，由不等式可得

x+3

3-x

≥2x＞0，由此求得x的取值范围．当0＜a＜1时，由由不等式可得 0＜

x+3

3-x

≤2x，由此求得x的取值范围．

解答：答：（1）∵函数f(x2-3)=loga

x2

6-x2

(a＞0，a≠1)，令 x²-3=t，则 x²=t+3．
则有 f（t）=loga

t+3

3-t

，故 f（x）=loga

x+3

3-x

．
再由

x+3

3-x

＞0 解得-3＜x＜3，故函数f（x）的定义域为（-3，3）．
由f（-x）=loga

-x+3

3+x

=-loga

x+3

3-x

=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
（2）当a＞1时，由f（x）=loga

x+3

3-x

≥log_a2x，可得

x+3

3-x

≥2x＞0，
解得 0＜x≤1，或

3

2

≤x＜3．
当0＜a＜1时，由f（x）=loga

x+3

3-x

≥log_a2x，可得 0＜

x+3

3-x

≤2x，
解得 1≤x≤

3

2

．

点评：本题主要考查判断函数的奇偶性的方法和步骤，解对数不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．