Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD．
（Ⅰ）求直线PB与平面PDC所成的角的正切值；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（1）取DC的中点E，可证明BE⊥平面PDC，从而PE为PB在平面PDC上的射影，根据线面角定义，∠BPE为直线PB与平面PDC所成的角，在直角三角形PEB中计算角BPE即可
（2）连接AC、BD交于点O，可证明AO⊥平面PDB，因此使用三垂线法即可作出二面角的平面角，方法是作OF⊥PB于F，连接AF，故∠AFO就是二面角A-PB-D的平面角，在直角三角形AOF中求∠AFO的大小即可

解答：解：（Ⅰ）取DC的中点E．
∵ABCD是边长为a的菱形，∠DAB=60°，∴BE⊥CD．
∵PD⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴PD⊥BE．
∴BE⊥平面PDC．∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角．
∵BE=

3

2

a，PE=

5

2

a，∴tan∠BPE=

BE

PE

=

15

5

．
（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD．
∵PD⊥平面ABCD，AO?平面ABCD，
∴AO⊥PD．∴AO⊥平面PDB．
作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB．
故∠AFO就是二面角A-PB-D的平面角．
∵AO=

3

2

a，OF=

2

4

a，∴tan∠AFO=

AO

OF

=

6

．
∴∠AFO=arctan

6

．

点评：本题考查了空间直线与平面，空间平面与平面所成的角的做法和计算方法，解题时要注意将空间问题转化为平面问题的思想方法．