题目内容
如图，已知椭圆
的长轴为
，点
恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率
，过点
的直线
与
轴垂直．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设
是椭圆上异于
、的任意一点，
轴，
为垂足，延长
到点
使得
，连结
延长交直线于点
，
为
的中点．
①求点的轨迹；
②判断直线
与以为直径的圆
的位置关系．
 |
解：（1）
． 由离心率得
．
所以椭圆的标准方程为
． ………………………………………4分
（2）设
，
．
∵，∴
．∴
∵
∴
，即
………………………………………8分
∴点在以
为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上．……………………9分
又
，∴直线的方程为
．
令
，得
．又
，为的中点，∴
．…………11分
∴
，
．
∴
．
∴
．∴直线与圆相切． …………………………………15分
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（2003•北京）如图，已知椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r）（b＞r＞0
与
轴平行，短轴
在
轴上，中心
（
与椭圆交于
，
（
），直线
与椭圆次于
，
（
）．求证：
；
，设
交
点，
交
点，求证：
（证明过程不考虑
的长轴
,离心率
，
为坐标原点，过
的直线
与
轴垂直，
是椭圆上异于
的任意一点，
，
为垂足，延长
至
，使得
,连接
并延长交直线
，
为
的中点
为直径的圆
与圆
的长轴为
，过点
的直线
与
轴垂直，直线
所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率
是椭圆上异于
、
轴，
为垂足，延长
到点
使得
，连接
并延长交直线
，
为
的中点．试判断直线
与以
的位置关系．
的长轴为
，过点
的直线
与
轴垂直，直线
所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率
是椭圆上异于
、
轴，
为垂足，延长
到点
使得
，连接
并延长交直线
，
为
的中点．试判断直线
与以
的位置关系．