题目内容
(03年北京卷理)(15分)
如图,已知椭圆的长轴与
轴平行,短轴
在
轴上,中心
(
(Ⅰ)写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于
,
(
),直线
与椭圆次于
,
(
).求证:
;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的在,设
交
轴于
点,
交
轴于
点,求证:
(证明过程不考虑
或
垂直于
轴的情形)
解析:(Ⅰ)解:椭圆方程为
焦点坐标为,
离心率
(Ⅱ)证明:证明:将直线CD的方程代入椭圆方程
,得
整理得
根据韦达定理,得
,
,
所以 ①
将直线GH的方程代入椭圆方程
,同理可得
②
由 ①、②得 =
所以结论成立
(Ⅲ)证明:设点P,点Q
由C、P、H共线,得
解得
由D、Q、G共线,同理可得
由 =
变形得
=
所以
即

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