题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A，B两点．
（1）当椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；
（3）当椭圆的离心率e满足
3
3
≤e≤
2
2
，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．
（1）∵椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列
∴2b2=a2+c2=a2+1
∵a2-b2=c2=1
∴a2=3，b2=2
∴椭圆的方程为
x2
3
+
y2
2
=1；
（2）直线x+y-1=0与椭圆方程
x2
3
+
y2
2
=1联立，消去y可得5x2-6x-3=0，∴x=
6±7
2
10

∴弦AB的长度为
1+1
•|
6+7
2
10
-
6-7
2
10
|=
14
5
；
（3）直线x+y-1=0与椭圆方程：
x2
a2
+
y2
b2
=1联立，消去y可得（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
2a2
a2+b2
，x1x2=
a2-a2b2
a2+b2

∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，
∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0
∴2x1x2-（x1+x2）+1=0
∴2•
a2-a2b2
a2+b2
-
2a2
a2+b2
+1=0
∴b2=
a2
2a2-1

∴c2=a2-b2=
2a4-2a2
2a2-1

∴e2=
c2
a2
=
2a2-2
2a2-1

∵椭圆的离心率e满足
3
3
≤e≤
2
2
，
∴
1
3
≤
2a2-2
2a2-1
≤
1
2

∴
5
2
≤a≤
6
2

∴
5
≤2a≤
6

∴椭圆长轴长的取值范围为[
5
，
6
]．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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