题目内容
已知定点C（-1，0）及椭圆x2+3y2=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是-
，求直线AB的方程；
（Ⅱ）设点M的坐标为(-
，0)，求
•
的值．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是-
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）设点M的坐标为(-
| 7 |
| 3 |
| MA |
| MB |
（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），
将y=k（x+1）代入x2+3y2=5，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
由线段AB中点的横坐标是-
，得
=-
=-
，
解得k=±
，适合（1）．
所以直线AB的方程为x-
y+1=0，或x+
y+1=0．
（Ⅱ）①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知x1+x2=-
，x1x2=
．(3)
所以
•
=(x1+
)(x2+
)+y1y2=(x1+
)(x2+
)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2+
)(x1+x2)+k2+
.
将（3）代入，整理得
•
=
+k2+
=
.
②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为(-1，
)、(-1，-
)，
此时亦有
•
=
.
综上，
•
=
.
将y=k（x+1）代入x2+3y2=5，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
|
由线段AB中点的横坐标是-
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 3k2 |
| 3k2+1 |
| 1 |
| 2 |
解得k=±
| ||
| 3 |
所以直线AB的方程为x-
| 3 |
| 3 |
（Ⅱ）①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知x1+x2=-
| 6k2 |
| 3k2+1 |
| 3k2-5 |
| 3k2+1 |
所以
| MA |
| MB |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 49 |
| 9 |
将（3）代入，整理得
| MA |
| MB |
(k2+1)(3k2-5)+(k2+
| ||
| 3k2+1 |
| 49 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为(-1，
| 2 | ||
|
| 2 | ||
|
此时亦有
| MA |
| MB |
| 4 |
| 9 |
综上，
| MA |
| MB |
| 4 |
| 9 |
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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，求直线AB的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使
为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 
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为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 
，求直线AB的方程；
，求
的值．